Näheres über Zahlen

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Eine Zahl ist ein abstraktes mathematisches Konzept, das eine bestimmte Menge repräsentiert. Es wird zum Zählen benutzt. Zahlen werden schon seit dem Altertum verwendet; anfangs als einfache Markierungen – Einkerbungen in Holz oder Knochen – und dann in Form abstrakterer Systeme. Es gibt mehrere Arten, Zahlen in Zahlensystemen auszudrücken. Einige davon sind heute nicht mehr in Gebrauch.

Verschiedene Arten, Zahlen darzustellen

Manche Forscher glauben, dass das Zahlenkonzept in verschiedenen Gebieten unabhängig voneinander entstanden ist. Die ursprünglichen schriftlichen Darstellungen von Zahlen durch Zeichen entwickelten sich unabhängig voneinander. Doch als sich der Handel zwischen Ländern und Kontinenten immer mehr ausweitete, lernten die Menschen voneinander, Erkenntnisse wurden gegenseitig übernommen; und so entstanden die Zahlensysteme, die wir heute benutzen, aus dem kollektiven Wissen.

Hindu-arabische Zahlen

Das hindu-arabische Zahlensystem ist heute eines der meistverbreiteten Zahlensysteme der Welt. Es wurde ursprünglich in Indien entwickelt und dann durch persische und arabische Mathematiker verbessert. Im Mittelalter verbreitete es sich durch den Handel bis in die westliche Welt und ersetzte dort das System der römischen Zahlen. Durch den von Europa ausgehenden Handel und die Kolonialisierungen wurde das hindu-arabische System weiter entwickelt und immer mehr in der ganzen Welt übernommen. Es ist ein Dezimalsystem, d.h. es basiert auf Vielfachen von Zehn, und es verwendet zehn Zeichen, um alle Zahlen darzustellen.

Die Zehn wird häufig beim Zählen verwendet, weil Menschen zehn Finger haben – und Körperteile wurden schon immer gerne beim Zählen zu Hilfe genommen. Sogar heute noch benutzen Menschen ihre Finger beim Zählen, z.B. wenn sie es gerade erst lernen oder wenn sie im Gespräch etwas Bestimmtes in Bezug aufs Zählen verdeutlichen wollen. In einigen Kulturen dienten auch die Zehen, die Finger-Zwischenräume oder die Knöchel zum Zählen. Interessant ist folgender Zusammenhang: Zahlen werden durch Ziffern repräsentiert. Und das Wort „digits“ für „Ziffern“ bezeichnet im Englischen und in vielen anderen Sprachen ebenso die Finger und Zehen.

Eine Inschrift auf Latein und mit römischen Ziffern auf dem Admiralty Arch in London. Dort steht: ANNO : DECIMO : EDWARDI : SEPTIMI : REGIS : VICTORIÆ : REGINÆ : CIVES : GRATISSIMI : MDCCCCX : (Im zehnten Jahr der Herrschaft von König Edward VII. für Königin Viktoria von zutiefst dankbaren Bürgern, 1910)

Römische Zahlen

Römische Zahlen wurden im Römischen Reich und in Europa bis zum 14. Jahrhundert benutzt. Sie werden auch heute noch in bestimmten Zusammenhängen verwendet, zum Beispiel auf Uhrenblättern, um die Stunden darzustellen. Römische Zahlen basieren auf sieben Ziffern, die mit lateinischen Buchstaben geschrieben werden:

Die Reihenfolge ist wichtig im römischen Zahlensystem, denn wenn eine kleine Ziffer auf eine große folgt, werden die beiden addiert. Steht jedoch eine kleine Ziffer vor einer großen, so wird die kleine Ziffer von der großen abgezogen. Zum Beispiel entspricht die XI einer Elf, aber IX bedeutet Neun. Die Subtraktionsregel gilt nicht allgemein, sie ist beschränkt auf diese Zahlen: IV, IX, XL, XC, CD und CM. In manchen Fällen werden die Subtraktionsregeln auch gar nicht angewandt und die Ziffern werden stattdessen nacheinander geschrieben.

Zahlensysteme in anderen Kulturen

Menschen in verschiedenen Erdteilen hatten eigene Systeme, um Zahlen darzustellen, die dem römischen oder hindu-arabischen System glichen. Zum Beispiel benutzten einige slawische Völker das kyrillische Alphabet, um Zahlen von 1 bis 9 sowie Vielfache von 10 und 100 darzustellen. Sie hatten besondere Zeichen für größere Zahlen und um die Ziffern von den Buchstaben zu unterscheiden. Das hebräische Zahlensystem benutzt das hebräische Alphabet, um Zahlen von eins bis zehn sowie Vielfache von zehn, 100, 200, 300 und 400 darzustellen. Alle übrigen Zahlen werden als Vielfache oder Summen dargestellt. Das griechische Zahlensystem funktioniert ganz ähnlich.

Einige Kulturen benutzen noch einfachere Darstellungsformen. Das babylonische Zahlensystem zum Beispiel benutzt nur zwei Keilschrift-Zeichen, nämlich für die Eins und die Zehn. Ersteres ähnelt in etwa dem Buchstaben „T“, letzteres erinnert an den Buchstaben „C“. So würde zum Beispiel die 32 geschrieben als CCCTT (die echten Zeichen sehen etwas anders aus). Das ägyptische Zahlensystem war sehr ähnlich, nur dass es darin noch Zeichen gab für null, einhundert, eintausend, zehntausend, einhunderttausend und eine Million sowie besondere Schreibweisen für Brüche. Die Maya-Kultur hatte Zeichen für null, eins und fünf sowie eine besondere Schreibweise für Zahlen über neunzehn.

Unäres Zahlensystem. Strichmarkierungen in verschiedenen Kulturen

Unärsystem

Das Unärsystem stellt jede Zahl mit so vielen Zeichen dar, wie es ihrem Wert entspricht. Diese Zeichen sind normalerweise dieselben; wenn also z.B. 1 als A dargestellt wird, würde 5 als AAAAA dargestellt. Wenn Kinder zählen lernen, benutzen ihre Lehrer oftmals dieses System, um den Kindern die Verbindung zwischen diesem konkreten, leicht verstehbaren System und einer abstrakteren Darstellung von Zahlen zu verdeutlichen. Dieses System wird außerdem manchmal bei Spielen und einfachen Rechenoperationen benutzt. Menschen verschiedener Länder können für dieses System unterschiedliche Darstellungsformen verwenden. Ein Beispiel dafür ist das Aufschreiben der Punkte für zwei Mannschaften oder das Zählen von Dingen oder Tagen: hierbei zeichnen Menschen in der westlichen Welt und einigen anderen Regionen oftmals vier senkrechte Linien, durchkreuzen diese dann mit einer fünften, horizontalen Linie und wiederholen das Ganze mehrmals, wie die Abbildung A) zeigt. Hier hat jemand vier Striche gemacht, diese durchgestrichen, erneut vier Striche gemacht, diese wieder durchgestrichen usw. – bis das Zählen bei zwölf Strichen aufhörte. Menschen, die chinesische Schriftzeichen in ihrem Schriftsystem benutzen oder früher benutzt haben – z.B. in China, Japan und Korea –, verwenden ein bestimmtes chinesisches Schriftzeichen mit fünf Strichen, um genau dasselbe zu tun. In Abbildung B) hat jemand bis fünf gezählt und dabei das Zeichen vervollständigt; dann hat derjenige mit einem neuen Zeichen begonnen und insgesamt bis sieben gezählt. Die Zahl der Striche ist vorher festgelegt, wie die Abbildung zeigt. Das Unärsystem wird auch in der Informatik verwendet.

Eine Rechenmaschine, die das Dezimalsystem verwendet und ein Mikroprozessor, der das Binärsystem verwendet

Stellenwertsystem

Stellenwertsysteme arbeiten mit einer Basis. Im Zehnersystem haben wir z.B. folgendes:

1. Die erste Stelle ist für die Ziffern null bis neun, d.h. die Ziffer an der ersten Stelle muss mit 10⁰ multipliziert werden.
2. Die Ziffer an der zweiten Stelle wird mit 10¹ multipliziert.
3. Die Ziffer an der dritten Stelle wird mit 10² multipliziert usw., bis alle Ziffern allen Stellen zugeordnet sind.

Um den Gesamtwert einer dargestellten Zahl wiedergeben zu können, muss man alle Werte von allen Stellen zusammenrechnen. Dies ist eine sehr praktische Weise, Zahlen darzustellen, da es erlaubt, sehr große Werte wiederzugeben, ohne viel Platz zu verbrauchen.

Beispiel: 3102 = 3 × 10³ + 1 × 10² + 0 × 10¹ + 2 × 10⁰

Binärsystem

Das Binärsystem wird sehr häufig in der Mathematik und Informatik angewandt. Es basiert auf den Zeichen „0“ und „1“, um jede mögliche Zahl darzustellen. Anders ausgedrückt ist es ein Zweiersystem. Zahlen werden wie folgt dargestellt: 0=0, 1=1, und ab 2 wird das Additionsprinzip angewendet. Die Addition im Zweiersystem entspricht derjenigen im Zehnersystem. So wird eine Zahl erhöht:

Eine künstliche Darstellung binärer Zahlen

• Wenn eine Zahl mit einer Null endet, wird diese letzte Null ersetzt durch eine Eins: z.B. 100 (4) + 1 (1) = 101 (5).
• Wenn eine Zahl mit einer Eins endet, aber nicht nur aus Einsen besteht, wird die erste Null von rechts durch eine Eins ersetzt, während alle Einsen rechts davon zu Nullen werden: 1011 (11) + 1 (1) = 1100.
• Wenn die darzustellende Zahl nur aus Einsen besteht, werden all diese Einsen zu Nullen und eine Eins wird vorn hinzugefügt: 111 (7) + 1 (1) = 1000 (8).

Um zwei Zahlen zu addieren, werden sie untereinander geschrieben und für jede Stelle gilt: 0+0 ergibt 0, 1+0 ergibt 1 und 1+1 ergibt 10, wobei die Null an die ursprüngliche Stelle gesetzt und die Eins auf die nächste Stelle übertragen wird. Zum Beispiel:

 11111 (31)
 +1011 (11)
———————————
101010 (42)

In diesem Fall, von rechts nach links gelesen:

• 1+1 ergibt 0, die Eins wird übertragen
• 1+1+1 ergibt 1, die Eins wird übertragen
• 1+1 ergibt 0, die Eins wird übertragen
• 1+1+1 ergibt 1, die Eins wird übertragen
• 1+1 ergibt 10

Wenn man das alles zusammenfasst, bekommen wir 101010.

Die Subtraktion funktioniert nach demselben Prinzip, nur dass wir die Einsen nicht übertragen, sondern „borgen“. Die Multiplikation funktioniert ähnlich wie im Zehnersystem. Mit 0 multiplizieren ergibt 0, mit 1 multiplizieren ergibt 1. Zum Beispiel so:

  101  (5)
  ×10  (2)
———————————
  000
 101
———————————
 1010 (10)

Die Division und das Rechnen mit Quadratwurzeln funktionieren auch ähnlich wie im Zehnersystem.

Zahlenkategorien

Alle Zahlen können Gruppen zugeordnet werden. Einige der folgenden Gruppen überschneiden sich teilweise.

Eine Schuld ist eine negative Zahl

Negative Zahlen

Negative Zahlen sind Zahlen, die negative Werte verkörpern. Sie haben ein vorangestelltes Minuszeichen. Beispielsweise hat Person A kein Geld und schuldet Person B 5 Euro. Dann hat Person A -5 Euro. Die „-5“ ist eine negative Zahl.

Rationale Zahlen

Rationale Zahlen sind Zahlen, die in Brüchen ausgedrückt werden können, wobei der Nenner eine natürliche Zahl ungleich Null ist und der Zähler eine ganze Zahl. Zum Beispiel sind ¾ und -10/5 (entspricht -2) rationale Zahlen.

Natürliche Zahlen

Natürliche Zahlen sind positive Zahlen (einschließlich 0), die keine Brüche sind, z.B. 7 oder 86, 766, 575, 675, 456.

Ganze Zahlen

Ganze Zahlen umfassen die Null sowie negative und positive Zahlen, die keine Brüche sind. Beispiele dafür sind -65 und 11,223.

Komplexe Zahlen

Komplexe Zahlen sind alle Zahlen, die eine Summe aus einer realen Zahl und dem Produkt einer zweiten realen Zahl mit der Quadratwurzel aus -1 bilden.

Primzahlen

Primzahlen sind natürliche Zahlen größer als eins, die nur durch sich selbst oder durch eins geteilt eine ganze Zahl ergeben. Beispiele dafür sind 3, 5 und 11. 2^57,885,61-1 war noch im Winter 2013 die größte bekannte Primzahl. Sie enthält 17.425.170 Ziffern. Primzahlen werden bei der Verschlüsselung mit öffentlichen Schlüsseln verwendet, einem System zur Datenverschlüsselung, das oft für den sicheren Datenaustausch im Internet benutzt wird, z.B. beim Online-Banking.

Interessante Fakten über Zahlen

Chinesische fälschungssichere Zahlen

Fälschungssichere Zahlen

Um Betrug beim Schreiben von Zahlen in Wirtschaft und Handel zu verhindern, benutzt die chinesische Sprache besondere, komplexe Schriftzeichen, die nur schwer durch das Hinzufügen weiterer Striche gefälscht werden können. Das wird gemacht, weil die normalen chinesischen Schriftzeichen für Zahlen zu einfach sind und man ihren Wert sehr leicht durch das Hinzufügen von Strichen verändern kann.

Modernes Zählen im Handel

Einige Sprachen in Ländern, in denen heutzutage das Zehnersystem verwendet wird, spiegeln noch wider, dass früher andere Zahlensysteme üblich waren. Zum Beispiel gibt es im Englischen das besondere Wort „dozen“ für die Menge „zwölf“ (im Deutschen „Dutzend“, Anm. d. Übers.) – heutzutage vor allem gebraucht für das Zählen von Eiern, Backwaren, Wein und Blumen. Die kambodschanische Sprache Khmer benutzt für das Zählen von Früchten besondere Wörter, die auf dem alten Basis-20-System beruhen.

Zahlengruppierungen

In China und Japan wurde das hindu-arabische Zahlensystem übernommen, doch große Zahlen werden in Gruppen von 10.000 aufgeteilt und das spiegelt sich in der Sprache wider. Im Englischen gibt es beispielsweise ein Wort für 1.000 und damit drückt man aus, wie viele Tausend man meint, bis hin zu 999.999. Dann folgt das Wort „million“, das für 1.000.000 steht. In Japan gibt es ein Wort für 10.000 und dann wird bis 99.999.999 hochgezählt. Für 100.000.000 gibt es dann wieder ein besonderes Wort.

Unglückszahlen

Leonardo da Vinci. Das letzte Abendmahl. Kirche der Heiligen Maria voller Gnaden (Santa Maria delle Grazie), Mailand, Italien.

In der westlichen Kultur wird die Zahl 13 als Unglückszahl angesehen. Viele glauben, dass das von der jüdisch-christlichen Tradition herrührt. Jesus Christus hatte dreizehn Jünger, die beim letzten Abendmahl anwesend waren – und danach wurde Jesus von dem dreizehnten Jünger Judas verraten. Auch die Wikinger hegten den Aberglauben, dass bei einer Versammlung von dreizehn Menschen einer davon im darauffolgenden Jahr sterben wird.

In Russland und vielen ehemaligen Sowjetstaaten gelten alle geraden Zahlen als Unglückszahlen. Möglicherweise rührt diese Auffassung von dem Glauben her, dass alle geraden Zahlen vollständig, stabil, statisch, unbeweglich – und damit nicht lebendig sind. Ungerade Zahlen andererseits stehen für Veränderung, Bewegung, für eine Einheit, die Vervollständigung, Fortschritt und Leben braucht. Diesem Glauben zufolge bringt es Unglück, einer lebenden Person eine gerade Anzahl an Blumen zu schenken – nur bei Beerdigungen dürfen Blumen in gerader Zahl vorkommen.

In Ländern, in denen Chinesisch, Japanisch oder Koreanisch gesprochen wird, gilt die Zahl 4 als Unglückszahl, weil das Wort dafür genauso ausgesprochen wird wie das Wort für „Tod“. In manchen Zusammenhängen werden alle Zahlen als Unglückszahlen angesehen, die eine Vier enthalten. Zum Beispiel dürfen Gebäude keine 4., 14. und 24. Etage haben. In China gilt auch die Zahl 7 als Unglückszahl, weil sie für die spirituelle Welt und die Geister steht. Der siebte Monat im chinesischen Kalender wird als „Monat der Geister“ bezeichnet, in dem die Verbindung zwischen der Welt der Lebenden und der Geisterwelt möglich ist. In Japan ist die 9 eine weitere Unglückszahl, weil das Wort dafür genauso ausgesprochen wird wie das Wort für „Leiden“.

In Italien gilt die 17 als Unglückszahl, denn wenn man in der entsprechenden römischen Zahl „XVII“ die Reihenfolge der Zeichen verändert, liest sich die neue Zahl VIXI wie das Wort „vixi“, das übersetzt so viel heißt wie „Ich habe gelebt.“ Das bedeutet, das eigene Leben ist vorüber; und somit bezieht sich die Zahl 17 auf den Tod.

Die 666 ist eine weitere Unglückszahl, in der Bibel auch „Zahl der Bestie“ genannt. Manche glauben, es handle sich dabei um die Zahl 616, aber 666 ist verbreiteter. Sie bezieht sich auf den Antichristen, auch Satan genannt. Über ihre Ursprünge wird viel diskutiert, aber einige Gelehrte glauben, dass die 666 die hebräische und die 616 die lateinische Umschreibung des Namens von Kaiser Nero ist, der mit den Christenverfolgungen sowie mit tyrannischer und blutiger Herrschaft assoziiert wird. Manche denken sogar, dass Nero der Brandstifter beim Großen Brand von Rom war, doch seine Beteiligung ist unter Geschichtsforschern umstritten.

In Afghanistan, besonders in und um Kabul herum, gilt die 39 als verfluchte bzw. schändliche Zahl, die mit Prostitution verbunden ist. Das hängt zusammen mit der Geschichte über einen Zuhälter, dessen Hausnummer und Nummernschild am Auto die 39 enthielten. Manche werfen den Behörden und den organisierten Verbrecherbanden vor, sie würden diesen Aberglauben verbreiten, um aus dem Handel mit Autos, die ein „verwerfliches“ Nummernschild tragen, Gewinn zu schlagen. Dieser Aberglaube ist so stark, dass die Menschen dort andere verhöhnen und beschimpfen, die eine 39 im Nummernschild ihres Autos, in ihrer Hausnummer oder ihrer Telefonnummer haben. Gerüchte besagen, dass eine solche Verhöhnung einmal sogar in einer Tragödie endete, als ein Parlamentskandidat mit der Nummer 39 auf dem Wahlzettel dergestalt von Vorübergehenden beschimpft wurde, dass es zu einem Verkehrsunfall kam. Seine Leibwächter, die um sein Leben fürchteten, erschossen zwei der Beteiligten. Diese Vorwürfe werden von den Leibwächtern und dem Parlamentskandidaten zwar bestritten und es wurde auch keine Anklage erhoben. Daher ist nicht klar, ob es sich hierbei um eine städtische Legende oder ein tatsächliches Ereignis handelt. Auf jeden Fall aber wird in Kabul überall darüber gesprochen.

Quellenangaben

Dieser Artikel wurde von Kateryna Yuri verfasst.